Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden

Eine Gerade und eine Ebene können sich schneiden, aneinander vorbeilaufen oder ganz zusammenfallen. Welcher Fall vorliegt, entscheidet ein einziges Skalarprodukt.

Ausprobieren

Die Ebene $E$ steht fest. Mit den ersten drei Reglern kippst du die Richtung $\vec u$ der Geraden, mit $k$ hebst du ihren Aufpunkt $P$ an. Achte auf $\vec u \cdot \vec n$: Wird es $0$, hört die Gerade auf, die Ebene zu treffen.

Die Ebene $E:\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 4$ Normalenvektor $\vec n$ Die Gerade $g$ mit Aufpunkt $P$ Richtungsvektor $\vec u$

$u_1$ 1

$u_2$ -1

$u_3$ 1

$k$ 1

Merke · Der Entscheidungsweg

Gegeben sind $g:\ \vec x = \vec p + t\cdot\vec u$ und $E:\ a x_1 + b x_2 + c x_3 = d$ mit $\vec n = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$. Berechne $\vec u \cdot \vec n$:

$\vec u \cdot \vec n \neq 0$ → $g$ schneidet $E$Die Koordinaten von $g$ in die Ebenengleichung einsetzen und nach $t$ auflösen. Dieses $t$ in die Geradengleichung einsetzen gibt den Durchstoßpunkt.
$\vec u \cdot \vec n = 0$ → Punktprobe mit $P$Liegt $P$ in $E$, so liegt $g$ ganz in $E$; liegt $P$ nicht in $E$, sind $g$ und $E$ echt parallel.

Warum das funktioniert: $\vec u \cdot \vec n = 0$ heißt, dass die Richtung der Geraden senkrecht zum Normalenvektor steht — also parallel zur Ebene verläuft. Dann kommt die Gerade der Ebene nie näher.

Beispiel

$g:\ \vec x = \begin{pmatrix}3\\4\\7\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ und $E:\ 2x_1 + 5x_2 - x_3 = 49$.

1. Skalarprodukt: $\vec u \cdot \vec n = 2\cdot 2 + 1\cdot 5 + (-1)\cdot(-1) = 10 \neq 0$ — es gibt also einen Schnittpunkt.

2. Einsetzen. Ein Punkt von $g$ hat die Koordinaten $x_1 = 3+2t$, $x_2 = 4+t$, $x_3 = 7-t$:

$$2(3+2t) + 5(4+t) - (7-t) = 49$$

$$6 + 4t + 20 + 5t - 7 + t = 19 + 10t = 49 \quad\Longrightarrow\quad t = 3$$

3. Zurück in $g$: $t = 3$ liefert den Durchstoßpunkt

$$D(3+6\,|\,4+3\,|\,7-3) = D(9|7|4)$$

Aufgepasst

Beim Fall $\vec u \cdot \vec n = 0$ ist die Rechnung noch nicht zu Ende. Setzt man trotzdem ein, fällt $t$ heraus und es bleibt eine Aussage ohne $t$ stehen:

Eine wahre Aussagewie $4 = 4$ bedeutet: jedes $t$ passt, die Gerade liegt in $E$.
Eine falsche Aussagewie $7 = 4$ bedeutet: kein $t$ passt, die Gerade ist echt parallel.

Das ist dieselbe Unterscheidung wie bei den Gleichungssystemen in Kapitel V.

Teste dich

Wie liegt $g:\ \vec x = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$ zu $E:\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4$?

$\vec u \cdot \vec n = 2\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 0\cdot 3 = 0$ — also parallel oder enthalten.

Punktprobe mit $P(1|0|1)$: $1 + 0 + 3 = 4$ ✓ — die Gleichung stimmt.

Die Gerade liegt in $E$.

Dieselbe Gerade, aber mit Aufpunkt $P(1|0|2)$. Was ändert sich?

Am Skalarprodukt nichts: Die Richtung ist dieselbe, also weiterhin $\vec u \cdot \vec n = 0$.

Die Punktprobe scheitert aber: $1 + 0 + 6 = 7 \neq 4$.

Jetzt ist $g$ echt parallel zu $E$ — sie ist um genau diesen Unterschied „danebengeschoben“.

Eine Gerade steht senkrecht auf $E$. Was gilt dann für $\vec u$ und $\vec n$?

Steht $g$ senkrecht auf der Ebene, so zeigt $\vec u$ in dieselbe Richtung wie der Normalenvektor: $\vec u$ ist ein Vielfaches von $\vec n$.

Dann ist $\vec u \cdot \vec n = \lvert\vec n\rvert^2 \neq 0$ — es gibt also garantiert einen Durchstoßpunkt. Genau das braucht man später beim Abstand eines Punktes von einer Ebene.