Rückblick
Alles aus Kapitel VI auf einen Blick — zum Wiederholen vor Test oder Prüfung.
Für \(\vec a = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) gilt
$$\lvert\vec a\rvert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}, \qquad \vec a_0 = \frac{1}{\lvert\vec a\rvert}\cdot\vec a \quad (\vec a \neq \vec o)$$
Der Einheitsvektor \(\vec a_0\) hat den Betrag \(1\) und zeigt in dieselbe Richtung wie \(\vec a\).
| Gesucht | Formel |
|---|---|
| Verbindungsvektor \(P \to Q\) | \(\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}q_1-p_1\\q_2-p_2\\q_3-p_3\end{pmatrix}\) |
| Abstand von \(P\) und \(Q\) | \(\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert\) |
| Mittelpunkt von \(\overline{AB}\) | \(M\left(\tfrac{a_1+b_1}{2}\,\big|\,\tfrac{a_2+b_2}{2}\,\big|\,\tfrac{a_3+b_3}{2}\right)\) |
| Skalarprodukt | Vektorprodukt | |
|---|---|---|
| Schreibweise | \(\vec a \cdot \vec b\) | \(\vec a \times \vec b\) |
| Ergebnis | eine Zahl | ein Vektor |
| Formel | \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) | \(\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\) |
| Wofür | \(\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a\cdot\vec b = 0\) | steht senkrecht auf \(\vec a\) und \(\vec b\) |
Nützlich: \(\vec a \cdot \vec a = \lvert\vec a\rvert^2\). Und \(\vec a \times \vec b = \vec o\) heißt genau, dass \(\vec a\) und \(\vec b\) Vielfache voneinander sind.
Gerade — Parametergleichung
$$g:\ \vec x = \vec p + t\cdot\vec u, \qquad \vec u \neq \vec o$$
Ebene — Parametergleichung (\(\vec u\), \(\vec v\) keine Vielfachen)
$$E:\ \vec x = \vec p + r\cdot\vec u + s\cdot\vec v$$
Ebene — Koordinatengleichung
$$E:\ a x_1 + b x_2 + c x_3 = d, \qquad \vec n = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}, \quad d = \vec p\cdot\vec n$$
Umwandeln: \(\vec n = \vec u \times \vec v\) führt von der Parameter- zur Koordinatenform. Zurück geht es über drei Punkte, die die Gleichung erfüllen — am bequemsten die Spurpunkte.
Spurpunkte sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: jeweils die beiden anderen Koordinaten \(0\) setzen. Spurgeraden sind die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen; sie verbinden je zwei Spurpunkte.
- Alle Vorfaktoren \(\neq 0\)drei Spurpunkte, Dreieck.
- Ein Vorfaktor \(= 0\)zwei Spurpunkte, \(E\) parallel zur fehlenden Achse.
- Zwei Vorfaktoren \(= 0\)ein Spurpunkt, \(E\) parallel zu einer Koordinatenebene.
\(g:\ \vec x = \vec p + r\vec u\) und \(h:\ \vec x = \vec q + s\vec v\)
| \(\vec u\), \(\vec v\) Vielfache? | dann prüfen | Lage |
|---|---|---|
| ja | \(P\) liegt auf \(h\) | identisch |
| \(P\) liegt nicht auf \(h\) | echt parallel | |
| nein | \(\vec p + r\vec u = \vec q + s\vec v\) lösbar | schneiden sich |
| nicht lösbar | windschief |
Das Gleichsetzen gibt drei Zeilen für zwei Unbekannte: Zwei Zeilen bestimmen \(r\) und \(s\), die dritte ist die Probe.
\(g:\ \vec x = \vec p + t\vec u\) und \(E\) mit Normalenvektor \(\vec n\)
| \(\vec u \cdot \vec n\) | dann prüfen | Lage |
|---|---|---|
| \(\neq 0\) | — | \(g\) schneidet \(E\) im Durchstoßpunkt |
| \(= 0\) | \(P\) liegt in \(E\) | \(g\) liegt in \(E\) |
| \(P\) liegt nicht in \(E\) | echt parallel |
Durchstoßpunkt: die Koordinaten von \(g\) in die Ebenengleichung einsetzen, nach \(t\) auflösen, \(t\) zurück in \(g\).
| \(\vec n_1\), \(\vec n_2\) Vielfache? | dann prüfen | Lage |
|---|---|---|
| nein | — | Schnittgerade |
| ja | ganze Gleichungen Vielfache | identisch |
| ganze Gleichungen nicht | echt parallel |
Die Richtung der Schnittgeraden ist \(\vec n_1 \times \vec n_2\); ein Punkt darauf ergibt sich aus dem Gleichungssystem beider Ebenengleichungen.
- Punktprobe nur halb gemachtEs müssen alle drei Zeilen dasselbe \(t\) liefern. Zwei passende Zeilen sind kein Beweis.
- Zwei Formen, dieselbe EbeneVerschieden aussehende Gleichungen können dasselbe beschreiben. Bei Parametergleichungen sieht man es nie sofort — deshalb im Zweifel in die Koordinatenform umrechnen.
- Skalar- und Vektorprodukt verwechseltEinmal kommt eine Zahl heraus, einmal ein Vektor. Die Frage „steht das senkrecht?“ beantwortet nur das Skalarprodukt.
- Vorzeichen im VektorproduktDie mittlere Zeile lautet \(a_3b_1 - a_1b_3\) — die Reihenfolge \(3,1\) und nicht \(1,3\). Die Probe mit zwei Skalarprodukten kostet zehn Sekunden und findet jeden solchen Fehler.
- „Parallel“ ohne Punktprobe\(\vec u\cdot\vec n = 0\) allein heißt noch nicht echt parallel — die Gerade kann auch in der Ebene liegen.
Zuordnen
Tippe je zwei Karten an, die zusammengehören.