Geraden im Raum
Im Raum gibt es kein \(y = mx + b\) mehr. Eine Gerade wird stattdessen durchlaufen: ein Startpunkt, eine Richtung — und eine Zahl, die sagt, wie viele Schritte man geht.
Schieb den Parameter \(t\). Der Punkt \(X\) wandert auf der Geraden: blau der Stützvektor \(\vec p\) bis zum Startpunkt \(P\), grün von dort aus \(t\)-mal der Richtungsvektor \(\vec u\). Jede reelle Zahl \(t\) trifft einen Punkt — und jeder Punkt der Geraden gehört zu genau einem \(t\).
Ist \(P\) ein Punkt der Geraden mit Ortsvektor \(\vec p\) und \(\vec u \neq \vec o\) eine Richtung, so beschreibt
$$g:\ \vec x = \vec p + t\cdot\vec u, \qquad t \in \mathbb{R}$$
alle Punkte der Geraden \(g\). Dabei heißt \(\vec p\) Stützvektor, \(\vec u\) Richtungsvektor und \(t\) Parameter.
- Nicht eindeutigJeder Punkt der Geraden taugt als Stützvektor, und \(\vec u\) darf mit jeder Zahl \(\neq 0\) multipliziert werden. Zwei ganz verschieden aussehende Gleichungen können dieselbe Gerade meinen.
- Gerade durch zwei Punkte \(A\) und \(B\)Stützvektor \(\overrightarrow{OA}\), Richtungsvektor \(\overrightarrow{AB}\).
- Punktprobe\(Q\) liegt genau dann auf \(g\), wenn es ein \(t\) gibt, das alle drei Zeilen erfüllt. Eine Zeile allein reicht nie.
In der Ebene schneiden sich zwei Geraden oder sind parallel. Im Raum gibt es einen vierten Fall: Sie können aneinander vorbeilaufen. Die Entscheidung fällt in zwei Schritten:
- Sind \(\vec u\) und \(\vec v\) Vielfache voneinander?
- Ja → PunktprobeLiegt \(P\) auf \(h\)? Dann sind \(g\) und \(h\) identisch, sonst echt parallel.
- Nein → Gleichsetzen\(\vec p + r\cdot\vec u = \vec q + s\cdot\vec v\) gibt ein Gleichungssystem mit drei Zeilen und zwei Unbekannten. Hat es eine Lösung, so schneiden sich \(g\) und \(h\); hat es keine, sind sie windschief.
Wichtig: Zwei Zeilen bestimmen \(r\) und \(s\) — die dritte Zeile ist die Probe. Genau daran scheitert der windschiefe Fall.
Gerade durch \(A(1|0|2)\) und \(B(3|4|1)\):
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad g:\ \vec x = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}$$
Liegt \(Q(5|8|0)\) auf \(g\)? Zeile für Zeile:
$$\begin{aligned} 5 &= 1 + 2t &&\Rightarrow\ t = 2\\ 8 &= 0 + 4t &&\Rightarrow\ t = 2\\ 0 &= 2 - t &&\Rightarrow\ t = 2 \end{aligned}$$
Alle drei Zeilen liefern dasselbe \(t\) — also liegt \(Q\) auf \(g\). Bei \(R(5|8|1)\) käme aus der dritten Zeile \(t = 1\), und \(R\) läge nicht auf \(g\).
Teste dich
Beschreiben \(g:\ \vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\-2\\4\end{pmatrix}\) und \(h:\ \vec x = \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) dieselbe Gerade?
Die Richtungsvektoren sind Vielfache: \(\begin{pmatrix}2\\-2\\4\end{pmatrix} = 2\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\). Also parallel oder identisch.
Punktprobe mit \(P(1|2|0)\) in \(h\): \(1 = 3 + s\) gibt \(s = -2\), und damit \(0 - (-2)\cdot 1 = 2\) ✓ sowie \(4 + (-2)\cdot 2 = 0\) ✓.
Alle drei Zeilen passen — die Geraden sind identisch.
Warum kann man an zwei windschiefen Geraden nichts „parallel Verschobenes“ erkennen?
Windschief heißt: Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen voneinander (sonst wären die Geraden parallel), und trotzdem gibt es keinen gemeinsamen Punkt.
Die beiden Geraden liegen dann in keiner gemeinsamen Ebene. In der Zeichnung sieht man sie sich oft kreuzen — das ist aber nur die Projektion aufs Papier. Dreh im Schaubild oben den Blick: Der scheinbare Kreuzungspunkt wandert.
Gib zwei verschiedene Gleichungen derselben Geraden durch \(A(2|1|1)\) und \(B(4|5|3)\) an.
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}\), also zum Beispiel
$$\vec x = \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix} \qquad\text{oder}\qquad \vec x = \begin{pmatrix}4\\5\\3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$$
Die zweite benutzt \(B\) als Stützpunkt und den halben Richtungsvektor. Beide Male entsteht dieselbe Punktmenge.