Koordinatengleichung einer Ebene

Zwei Spannvektoren und ein Stützvektor — das waren neun Zahlen für eine Ebene. Es geht viel kürzer: eine Gleichung mit vier Zahlen. Und drei davon kennst du schon aus der letzten Lerneinheit.

Ausprobieren

Die ersten drei Regler stellen den Normalenvektor $\vec n$ ein — er steht immer senkrecht auf der Ebene und kippt sie. Der Regler $d$ kippt nichts, er verschiebt die Ebene nur parallel.

Die Ebene $E$ Normalenvektor $\vec n$ Lot vom Ursprung auf $E$

$a$ 2

$b$ 1

$c$ 2

$d$ 4

Merke · Normalenvektor und Koordinatengleichung

Ein Vektor $\vec n \neq \vec o$, der auf einer Ebene $E$ senkrecht steht, heißt Normalenvektor von $E$. Ist $\vec p$ ein Stützvektor, so gilt für jeden Punkt $X$ der Ebene:

$$(\vec x - \vec p)\cdot\vec n = 0$$

Denn $\overrightarrow{PX}$ liegt in der Ebene und ist deshalb orthogonal zu $\vec n$. Multipliziert man aus, verschwinden die Vektoren:

$$E:\ a\,x_1 + b\,x_2 + c\,x_3 = d \qquad\text{mit}\quad \vec n = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix},\quad d = \vec p\cdot\vec n$$

Das ist die Koordinatengleichung von $E$. Der Normalenvektor lässt sich also direkt ablesen: Er steht als Zahlenspalte vor $x_1$, $x_2$, $x_3$.

Merke · Was $d$ macht

$\vec n$ bestimmt die NeigungAlle Ebenen mit demselben $\vec n$ sind zueinander parallel.
$d$ bestimmt die LageEs verschiebt die Ebene parallel. $d = 0$ heißt: Die Ebene geht durch den Ursprung.
Nicht eindeutigMultipliziert man die ganze Gleichung mit $2$, beschreibt sie dieselbe Ebene: $2x_1+x_2+2x_3=4$ und $4x_1+2x_2+4x_3=8$ sind gleichwertig.
PunktprobeEinsetzen und schauen, ob die Gleichung stimmt — ganz ohne Gleichungssystem. Genau darin liegt der Vorteil dieser Form.
Koordinatenebenen$x_3=0$ ist die $x_1x_2$-Ebene, $x_1=0$ die $x_2x_3$-Ebene, $x_2=0$ die $x_1x_3$-Ebene.

Beispiel

Gesucht ist die Ebene durch $P(1|2|3)$ mit Normalenvektor $\vec n = \begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}$.

Die linke Seite steht sofort fest, denn $\vec n$ liefert die Vorfaktoren:

$$2x_1 + 5x_2 + 3x_3 = d$$

Für $d$ wird der Punkt $P$ eingesetzt:

$$d = 2\cdot 1 + 5\cdot 2 + 3\cdot 3 = 21 \quad\Longrightarrow\quad E:\ 2x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 21$$

Probe mit $Q(3|1|4)$: $6 + 5 + 12 = 23 \neq 21$ — $Q$ liegt nicht in $E$.

Teste dich

Gib einen Normalenvektor von $E:\ 4x_1 - x_2 + 7x_3 = 12$ an.

Ablesen genügt:

$$\vec n = \begin{pmatrix}4\\-1\\7\end{pmatrix}$$

Jedes Vielfache davon tut es auch, etwa $\begin{pmatrix}8\\-2\\14\end{pmatrix}$ oder $\begin{pmatrix}-4\\1\\-7\end{pmatrix}$.

Welche Ebene beschreibt $x_3 = 4$?

Ausgeschrieben ist das $0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 4$, also $\vec n = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.

Der Normalenvektor zeigt senkrecht nach oben: Die Ebene liegt waagerecht, parallel zur $x_1x_2$-Ebene, in der Höhe $4$.

Bestimme die Ebene durch $A(2|0|1)$, die parallel zu $F:\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 7$ ist.

Parallel heißt: derselbe Normalenvektor. Die linke Seite bleibt also stehen, nur $d$ ändert sich.

$$d = 3\cdot 2 - 0 + 2\cdot 1 = 8 \quad\Longrightarrow\quad E:\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 8$$

Weil $8 \neq 7$ ist, sind $E$ und $F$ echt parallel — sie fallen nicht zusammen.