Ebenen im Raum — Parameterform

Ein Parameter erzeugt eine Gerade. Nimmt man einen zweiten dazu, entsteht eine ganze Fläche — und die reicht in alle Richtungen unbegrenzt weiter.

Ausprobieren

Vom Punkt $P$ aus gehst du $r$-mal den Spannvektor $\vec u$ und $s$-mal den Spannvektor $\vec v$. Schieb beide Regler: $X$ verlässt die Fläche nie — zwei Zahlen erreichen jeden Punkt der Ebene.

Stützvektor $\vec p$ zum Punkt $P$ $r\cdot\vec u$, dann $s\cdot\vec v$ Ortsvektor $\vec x$ des Punktes $X$

$r$ 1

$s$ 0,5

Merke · Parametergleichung einer Ebene

Sind $\vec u$ und $\vec v$ keine Vielfachen voneinander, so beschreibt

$$E:\ \vec x = \vec p + r\cdot\vec u + s\cdot\vec v, \qquad r,s \in \mathbb{R}$$

eine Ebene $E$. $\vec p$ heißt Stützvektor, $\vec u$ und $\vec v$ heißen Spannvektoren.

Warum „keine Vielfachen“?Wären $\vec u$ und $\vec v$ parallel, käme man mit beiden nur in dieselbe Richtung — es entstünde bloß eine Gerade.
Ebene durch drei PunkteLiegen $A$, $B$, $C$ nicht auf einer Geraden: $\vec x = \overrightarrow{OA} + r\cdot\overrightarrow{AB} + s\cdot\overrightarrow{AC}$.
Punktprobe$Q$ liegt genau dann in $E$, wenn das Gleichungssystem aus den drei Zeilen eine Lösung $(r; s)$ hat. Zwei Zeilen bestimmen $r$ und $s$, die dritte ist die Probe.
Kein RandEine Ebene ist unbegrenzt. Gezeichnet wird immer nur ein Ausschnitt — im Bild oben das Parallelogramm.

Beispiel

Ebene durch $A(1|1|0)$, $B(3|1|1)$ und $C(1|3|1)$.

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$$

Die beiden sind keine Vielfachen voneinander, also

$$E:\ \vec x = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$$

Liegt $Q(5|3|3)$ in $E$? Aus der ersten Zeile $5 = 1+2r$ folgt $r=2$, aus der zweiten $3 = 1+2s$ folgt $s=1$. Probe in der dritten Zeile: $0 + 2 + 1 = 3$ ✓ — $Q$ liegt in $E$.

Teste dich

Warum beschreibt $\vec x = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}$ keine Ebene?

Es ist $\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix} = 2\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ — die beiden Spannvektoren sind Vielfache voneinander.

Beide führen in dieselbe Richtung; zusammen erreicht man nur die Punkte einer Geraden durch $(0|0|1)$.

Gib eine Parametergleichung der $x_1x_2$-Ebene an.

Sie geht durch den Ursprung und wird von den beiden ersten Koordinatenrichtungen aufgespannt:

$$\vec x = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

Die dritte Koordinate bleibt bei jeder Wahl von $r$ und $s$ gleich $0$ — genau das macht diese Ebene aus.

Zwei Studierende geben für dieselbe Ebene verschiedene Spannvektoren an. Kann das stimmen?

Ja. Zu einer Ebene gehören unendlich viele Paare von Spannvektoren — jedes Paar nicht-paralleler Vektoren, das in der Ebene liegt, tut es.

Genauso ist jeder Punkt der Ebene als Stützvektor brauchbar. Ob zwei Gleichungen dieselbe Ebene meinen, sieht man ihnen deshalb nicht an. Ab Lerneinheit 5 gibt es dafür eine Form, die eindeutiger ist.